Produit scalaire et coordonnées

Propriété Expression analytique du produit scalaire

Dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) du plan, on considère les vecteurs \(\vec u \begin{pmatrix} \color{blue}{x} \\\color{green}{y} \end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix} \color{blue}{x'} \\ \color{green}{y'} \end{pmatrix}\).
Leur produit scalaire est donné par \(\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=\color{blue}{xx'}+\color{green}{yy'}}\).

Démonstration

Le repère \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) étant orthonormé, on a \(\vec{i}\cdot\vec{j}=0\), \(\Vert \vec{i} \Vert^2=1\) et \(\Vert \vec{j} \Vert^2=1\). Ainsi :
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=\left(x\vec{i}+y\vec{j}\right) \cdot \left(x'\vec{i}+y'\vec{j}\right)\)
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}}=xx'\times(\vec{i}\cdot\vec{i})+xy' \times (\vec{i}\cdot \vec{j})+yx' \times (\vec{j} \cdot \vec{i})+yy'\times (\vec{j} \cdot \vec{j})\)
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}}=xx'\times \Vert \vec{i} \Vert^2+xy' \times 0+yx' \times 0+yy'\times \Vert \vec{j} \Vert^2\) 
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}}=xx' +yy'\)

Exemple

On veut calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}\) connaissant les coordonnées des points \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) du plan : \(\text A(2\,;2)\), \(\text B(3\,;0)\), \(\text C(-1\,;1)\).

On commence par déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text A\text B}\) et \(\vec{\text A\text C}\) dans ce repère.

\(\overrightarrow{\text{AB}}  \begin{pmatrix} x_{\text{B}}-x_{\text{A}}\\y_{\text{B}}-y_{\text{A}} \end{pmatrix}\) soit  \(\overrightarrow{\text{AB}}  \begin{pmatrix} 3-2\\ 0-2\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} \color{blue}{1}\\ \color{green}{-2}\end{pmatrix}\)

 \(\overrightarrow{\text{AC}}  \begin{pmatrix} x_{\text{C}}-x_{\text{A}}\\y_{\text{C}}-y_{\text{A}} \end{pmatrix}\) soit  \(\overrightarrow{\text{AC}}  \begin{pmatrix} -1-2\\ 1-2\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{AC}} \begin{pmatrix} \color{blue}{-3}\\ \color{green}{-1}\end{pmatrix}\)

Ainsi \(\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}=\color{blue}{1}\times\color{blue}{(-3)}+\color{green}{(-2)}\times\color{green}{(-1)}=-3+2=-1\).